Magia y p ersonalidad de los n _ umeros
1Manuel Murillo
Tsijli2\Detr_ as de las p ar e des,
jue gan los dioses;
jue gan c on n _ umer os,
de los que est_ a he cho el universo"Le CorbusierIn tro ducci_ onP or estos d _ _as he le _ _do que la can tidad de matrimonios que se efectuar_ an en la fec ha del
7 de julio de 2007 han cuadruplicado los de otras fec has, la raz_ on es m uy simple, esta fec ha
con tienen tres sietes (¯-7) y el n _ umero 7 se relaciona con la buena suerte, y una a yuda de
estas a la esp eranza de que el matrimonio sea para to da la vida, no est_ a de m_ as.
A tra v _ es del tiemp o, algunos n _ umeros que satisfacen determinada propiedad, han sido
ob jeto de estudio y en algunos casos se les ha relacionado con la religi_ on, la sup erstici_ on, la
suerte y hasta con la magia. As _ _ como las p ersonas son altas o ba jas, delgadas o gruesas,
amigables, organizadas, sensatas, buenas o malas, en tre m uc has m_ as, los n _ umeros tienen su
propia p ersonalidad y se ha utilizado, desde la magna Grecia, nom bres m uy sugestiv os para
su comp ortamien to.
Las matem_ aticas son absolutamen te necesarias para la magia, a_rmaba Heinric h Cornelius

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2 para en viar los 7 castigos sobre los injustos, en los 7 cuernos. Otros ejemplos se pueden v er
en G _ enesis 2:3, en Mateo 18:21-22 y en Job 1:2-3 y 2:13 o consultar en [14].
P ara m uc hos, el n _ umero 7 es m_ agico, es la uni_ on de lo divino y lo terrenal pues es la suma
del 3 y el 4, cono cidos como el n _ umerodivinoy el n _ umero terrestre resp ectiv amen te.
En los cuen tos infan tiles, los n _ umeros primos son utilizados con bastan te frecuencia: 3
co c hinitos, los 7 enanos de Blancaniev es, los 3 mosqueteros de Dumas, la banda de 41 ladrones
de Al _ _ Bab_ a, 101 d_ almatas, el Sastrecillo V alien te que mata a 7, moscas y no gigan tes, de un
solo golp e, en tre m uc hos otros cuen tos.
Adem_ as, autores como Isaac Asimo v, escritor en temas de ciencia _cci_ on y divulgaci_ on
cien t _ __ca, v _ ease en tre m uc hos [1] _ o [2] iniciando conY o r ob ot,F undaci_ onyEl hombr e bic ente-
nario; Martin Gardner como gran exp onen te en la divulgaci_ on de las matem_ aticas recreativ as,
en m uc hos problemas y relatos utiliza las propiedades de los n _ umeros primos y capic _ uas, p or
ejemplo suCir c o Matem_ atic o[4]; Carl Sagan con su inmortalCosmosy su ma jestuosaCon-
tactoen donde se utilizan, p or ejemplo, los n _ umeros primos para en viar mensa jes, n _ umeros
en base 11, n _ umeros trascenden tes; J.K. Ro wling a lo largo de to da su saga de Harry P otter,
p or ejemplo en [9, p_ ag. 462] en donde se menciona la p osibilidad de dividir el alma en 7

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3 matem_ atico puro, se cree que fue disc _ _pulo de T ales. Es en esta isla donde funda su primera
escuela, luego, h uy endo de la tiran _ _a de P ol _ _crates, funda la segunda escuela en Crotona y la
tercera en T aren to. Pit_ agoras y sus disc _ _pulos efectuaron un estudio bastan te completo de
los en teros, pues la _losof _ _a de los pitag_ oricos se basaba en ellos y los consideraban pilares
del cono cimien to. F ueron los griegos los primeros en clasi_car los en teros en n _ umeros pares,
impares, primos, compuestos, p erfectos, amigos, en tre otros, v _ ease p_ agina 6. Esta escuela
aceptaba solamen te los n _ umeros en teros, para ellos, las fracciones no eran n _ umeros.
Los pitag_ oricos relacionaron adem_ as los n _ umeros con la geometr _ _a, Pit_ agoras, p or ejemplo,
dem uestra geom _ etricamente m uc has prop osiciones de la teor _ _a de n _ umeros, adem_ as, in tro-
dujeron la idea de n _ umeros p oligonales: triangulares, cuadr_ aticos, p entagonales, en tre otros,
dep endiendo de una disp osici_ on geom _ etrica m uy particular, v _ ease p_ agina 8.
A la escuela pitag_ orica se le atribuy e la demostraci_ on del teorema de Pit_ agoras, resul-
tado cono cido, p ero no demostrado formalmen te, m uc hos a ~ nos an tes p or otros pueblos. Los
pitag_ oricos estudiaron la diferencia de dos n _ umeros cuadr_ aticos consecutiv osCn+1_Cn, que
llamarongnomon, palabra que signi_ca una escuadra de carpin tero. En o casiones el gnomon
es un cuadrado p erfecto, p or ejemploC5_C4= 32, consideraciones que a yudaron a form ular
el teorema de Pit_ agoras.
Los pitag_ oricos fueron los primeros en prop orcionar un m _ eto do para determinar in_nidades
de ternas. En notaci_ on mo derna p o demos describirlo como sigue: seanun n _ umero impar
ma y or que 1, y seanx=n; y=n2_1
2; z=n2+ 1
2
La terna que resulta (x; y ; z) constituy e siempre una terna pitag_ orica en dondez=y+ 1. He
aqu _ _ algunos ejemplos:
x
3
5
7
9
11
13
15
17
19
y
4
12
24
40
60
84
112
144
180
z
5
13
25
41
61
85
113
145
181
Plat_ on (_-349 a.C.) justi_c_ o un m _ eto do para determinar las ternas pitag_ oricas p or las
f_ orm ulasx= 4n,y= 4n2_1,z= 4n2+ 1. Como ejemplo, considere:
x
8
12
16
20
y
15
35
63
99
z
17
37
65
101
en estos, observ e que se tiene quez=y+ 2.

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4 _!1 &!6 _!20 o!70 _!300 !!800
_!2
_!7
_!30
_!80
_!400
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!900

!3
_!8
_!40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!90
_!500
_!4
_!9
_!50
_!100
_!600
_!5
_!10
_!60
_!200
!700
Cuadro 1: S _ _m b olos del sistema de n umeraci_ on j_ onico.
En el libro X de losElementos, Euclides (Õ-265 a.C.) dio un m _ eto do para obtener to das
las ternas pitag_ oricas, dado p or las f_ orm ulasx=t(a2_b2); y= 2tab; z=t(a2+b2)
dondet,a,bson en teros p ositiv os arbitrarios tales quea > b,aybcarecen de factores primos
com unes, y uno de ellos,a_ ob, es par y el otro es impar.
P or esta _ ep o ca, el matem_ atico griego Erat_ ostenes (¾-194 a.C.), desarroll_ o un m _ eto do
para determinar los n _ umeros primos menores quen, cono cido como lacrib a3de Er at_ ostenes,
aunque su ap orte m_ as imp ortan te a la ciencia se considera el lograr una apro ximaci_ on de la
circunferencia de la Tierra utilizando las medidas de los _ angulos de elev aci_ on al Sol.
Adem_ as, Euclides hizo una imp ortan te con tribuci_ on al problema de buscar to dos los
n _ umerosp erfe ctos, v _ ease p_ agina 7, plan teado p or los pitag_ oricos. En el libro IX, Euclides
da la f_ orm ula para to dos los n _ umeros p erfectos pares. Dem uestra que, un n _ umero par es un
n _ umero p erfecto si es de la forma 2p_1(âp_1) donde tan topcomo 2p_1 son n _ umeros
primos, resultado cono cido comote or ema de Euclides.
Los primeros n _ umeros p erfectos son el 6 y el 28, cono cidos desde la Grecia An tigua, y los
siguien tes son 496 y 8128, descubiertos en el siglo I d.C. p or Nic_ omaco. Sis(n) denota la
suma de los divisores propios den, se tiene ques(Ù = 1 + 2 + 3 = 6s(ì) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
como 496 = 16_31 = 24_31, se tiene ques(N) = 1 + 2 + 22+ 23+ 24+ 31 + 31_2 + 31_22+ 31_23+ 31_24= 496
es decir, 496 es p erfecto. Al observ ar la factorizaci_ on prima de estos tres en teros p erfectos,
se nota que 6 = 2_3; 28 = 4_7 y 496 = 16_31 y son de la forma 2p(_p+1_1), donde el
_ ultimo factor es primo.
P arapprimo, los n _ umeros de la formaMp= 2p_1, se cono cen como losn _ umer os de
Mersenne, en caso queMpsea primo se le llama primo de Mersenne. Se puede demostrar
que si 2n_1 es primo, en toncesntam bi _ en lo es, v _ ease [6], adem_ as, notemos que el rec _ _pro co
no es v erdadero, pues a p esar que 11 s _ _ es primo, note queM11= 211_1 = 2047 = 23_89
es compuesto. Se les llama de esta forma en honor de Mart _ _n Mersenne (p8-1648), fraile
franciscano que pas_ o la ma y or parte de su vida en los monasterios de P ar _ _s.
3Criba es un medio de seleccionar y , en particular, de distinguir lo v erdadero o bueno de lo que no lo es.
En este caso, es el pro cedimien to ideado p or Erat_ ostenes para seleccionar los n _ umeros primos.

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5 Aunque no se ha demostrado, se cree que ha y un n _ umero in_nito de primos de Mersenne,
y curiosamen te s_ olo se han encon trado 44 de estos primos, v _ ease [13]. El ma y or de estos
primos de Mersenne, que adem_ as corresp onde con el ma y or n _ umero primo cono cido, esM32582657= 232582657_1
un n _ umero de 9808358 d _ _gitos, descubierto en septiem bre de 2006 p or el Dr. Curtis Co op er
y el Dr. Stev en Bo one, profesores de Cen tral Missouri State Univ ersit y . V _ ease [13].
Es f_ acil probar que si 2p_1 es primo, en tonces el n _ umeron= 2p_1(âp_1) es p erfecto,
v _ ease [6], Euclides fue el primero en probarlo, en el siglo IV a.C, y dos mil a ~ nos m_ as tarde,
Euler demostr_ o el rec _ _pro co del teorema de Euclides, esto es, cada n _ umero p erfecto par deb e
ser del tip o descrito p or Euclides, p or ejemplo 8128 = 26(â7_1).
Los n _ umeros p erfectos son, realmen te, m uy raros, los cinco primeros n _ umeros p erfectos
pares son 6, 28, 496, 81128 y 33550336. En el momen to actual s_ olo se cono cen 44 n _ umeros
p erfectos, v _ ease [13]. La historia de los n _ umeros de Mersenne y n _ umeros p erfectos est_ a
estrec hamen te relacionada con el desarrollo de la inform_ atica, para v eri_car este hec ho, puede
consultar el dominio [13].
La lista de n _ umeros primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Una tabla que daba la lista de to dos los
n _ umeros primos menores que 10 millones, que son 664579 n _ umeros, fue publicada en 1914
p or el matem_ atico estadounidense D. N. Lehmer.
Un estudio detallado de la tabla de n _ umeros primos p one de mani_esto que se encuen tran
distribuidos de manera bastan te irregular. La distribuci_ on m uestra grandes espacios en tre
primos, p or ejemplo, el primo 370261 v a seguido de 111 n _ umeros compuestos y no existe
primo alguno en tre 20231323 y 20831533. Es f_ acil demostrar que en tre n _ umeros primos se
pueden presen tar espacios arbitrariamen te grandes, v _ ease [6].
P or otro lado, existen algunos n _ umeros pares consecutiv os que son primos, es decir, que
di_eren solo en 2 unidades, estos se cono cen como primosgemelos. Ha y unos 1000 pares
gemelos menores que 100000 y unos 8000 menores que 1000000. Muc hos matem_ aticos creen
que existe una can tidad in_nita de estos pares, p ero ninguno ha sido capaz de demostrarlo.
P or ahora, los primos gemelos m_ as grandes cono cidos son
33218925_2169690_1
fueron descubiertos en el a ~ no 2002 y cada n _ umero tiene 51090 d _ _gitos.
Uno de los problemas m_ as famosos relativ os a primos lo constituy e la llamadac onjetur a
de Goldb ach, propuesta p or Christian Goldbac h en una carta que en vi_ o a Leonhard Euler en
el a ~ no 1742, en _ esta se a_rma que to do n _ umero en tero, par, ma y or o igual que 4 se puede
escribir como la suma de dos primos. Al d _ _a de ho y no se ha p o dido demostrar su v alidez,
p ero tamp o co se ha encon trado alg _ un par que no sea la suma de dos primos. Solamen te se
ha p o dido comprobar su v alidez para una gran can tidad de n _ umeros, p or ejemplo,
6 = 3 + 3;10 = 7 + 3;50 = 43 + 7;100 = 89 + 11
Otra conjetura nos dice que existe una in_nidad de n _ umeros primos capic _ uas, p or ejemplo,
2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301,
. . . , note que en esta lista no existen n _ umeros de 4 d _ _gitos, v _ ease [6]. Algunos datos curiosos
sobre n _ umeros capic _ uas: el _ unico n _ umero asim _ etrico que pro duce un capic _ ua cuando se elev a

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6 al cub o es 2201 y este cub o es 10662526601; en 1980 Harry Nelson demostr_ o que el primo
capic _ ua m_ as p eque ~ no que con tiene los diez d _ _gitos es 1023456987896543201.
La forma en que se hace el tratamien to de los en teros en general, est_ a quiz_ a mejor ejem-
pli_cada p or una historia con tada p or el matem_ atico brit_ anico Hardy. Se trata de un jo v en
disc _ _pulo suy o, un hind _ u llamado Sriniv asa Raman ujan (ˆ7-1920), que tuv o una notable
in tuici_ on aritm _ etica y a p esar de no con tar con una formaci_ on matem_ atica rigurosa, pro dujo
gran can tidad de traba jos de in v estigaci_ on originales. P adec _ _a de tub erculosis y su m uerte
a la edad de 23 a ~ nos era inevitable. En el lec ho de m uerte Hardy lo fue a visitar, cuando
lleg_ o le mencion_ o que el taxi en el cual hizo el via je ten _ _a 1729 como n _ umero de licencia,
y le parec _ _a quiz_ as un n _ umero sin in ter _ es. Raman ujan replic_ o inmediatamen te que, p or el
con trario, 1729 era particularmen te in teresan te y a que es el en tero p ositiv o m_ as p eque ~ no que
se puede expresar como una suma de dos cub os p ositiv os en dos formas diferen tes:
1729 = 103+ 93= 123+ 13No deb e inferirse la necesidad de cono cer to dos esos p eque ~ nos hec hos para en tender la
teor _ _a de n _ umeros o, que se necesite ser un calculador rel_ ampago, simplemen te se desea
pun tualizar que este asp ecto se ~ nalado in v olucra un n _ umero en tero, p ero tiene un elemen to
adicional que de alguna manera lo hace m_ as signi_cativ o: analizar una propiedad de dic ho
en tero. Esto, sin duda, es lo que distingue a la teor _ _a de n _ umeros de la simple aritm _ etica.
Resp ecto de la incertidum bre y de lo misterioso que puede resultar esta rama de la

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7 Ejemplo 1 .El n _ umer o13es primo,14es c ompuesto pues14 = 2_7. Como adem_ as se
cumple quemcd((;14) = 1, se tiene que13y14son primos r elativos._
Los n _ umeros en terosx,y,z, se llamanpitag_ oricossi satisfacen la ecuaci_ onx2+y2=z2Es decir, (x; y ; z), ser_ a una tripleta pitag_ orica si los tres n _ umeros corresp onden a las
medidas de los lados de un tri_ angulo rect_ angulo.
Ejemplo 2
.L as tripletas(";4;5)y(";24;25)son pitag_ oric as._Es f_ acil probar que, para cada dos en terosnym, los v alores dex,y,zde_nidos p or:x=n2_m2; z=n2+m2; y= 2mn
(ñ)
son n _ umeros pitag_ oricos. Se puede probar que para to da (x; y ; z) soluci_ on, donde son primos
relativ os dos a dos, existennymque satisfacen la relaci_ on an terior. En la siguien te tabla se
observ an v arias tripletas pitag_ oricas para algunos v alores deny dem, conn > m:
n
m
x
y
z
2
1
3
4
5
3
2
5
12
13
4
2
12
16
20
6
5
11
60
61
7
5
24
70
74
13
11
13920
40898
43202
P or supuesto que to da tripleta que sea m _ ultiplo de (";4;5), ser_ a una soluci_ on de la ecuaci_ on,
sin em bargo, no to da soluci_ on de la ecuaci_ on es m _ ultiplo de (";4;5). A _ un m_ as, en cada
tripleta de n _ umeros pitag_ oricos, siempre ha y uno que es divisible p or 3, uno que es divisible
p or 4 y uno que es divisible p or 5.
Ejemplo 3
.L a tripleta(¢;12;13)es pitag_ oric a, pues52+ 122= 169 = 132. Note que12es
divisible p or3y p or4y5es divisible p or5._
El n _ umero naturalnse le llamap erfectosi la suma de to dos sus divisores p ositiv os,
menores quen, da como resultadon. Si dic ha suma es menor quense llama n _ umerode_cien tey si dic ha suma es ma y or quenser_ aabundan te.
Ejemplo 4
.Como6 = 1 + 2 + 3, se tiene que6es p erfe cto. Como1 + 2 + 4 = 7y7<8,
se tiene que8es un _ umer o de_ciente. Por _ ultimo,1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21y21>18, p or lo
tanto18es un n _ umer o abundante._Los an tiguos griegos se refer _ _an a los divisores propios de un n _ umero llam_ andolos susp artes.
Los n _ umeros 6 y 28 los llamaron p erfectos p orque eran iguales a la suma de sus partes.
Se dice que dos n _ umeros primospyq, sonprimos gemelossijp_qj= 2.

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8
factorizaci_ on dem m nfactorizaci_ on den
22_5_11 220 284 22_71
22_5_251 5020 5564 22_13_107
23_17_79 10744 10856 23_23_59
33_5_7_71 67095 71145 33_5_17_31
22_5_13_1187 308620 389924 22_43_2267
33_5_7_17_59 947835 1125765 33_5_31_269
Cuadro 2: Algunas parejas de n _ umeros amigos.
Ejemplo 5
.L os n _ umer os11y13son primos gemelos, al igual que41y43._
Se dice que un n _ umero naturaln, es un n _ umerosin cuadradossi para to do primop,p2no divide an, es decir, si los exp onen tes de los primos en la descomp osici_ on
en factores primos den, no exceden la unidad.
Ejemplo 6
.42es un n _ umer o sin cuadr ados, pues42 = 2_3_7._
Se dice que un n _ umero naturaln, es uncuadrado p erfectosi9k,k2N, tal quen=k2. Ser_ a uncub o p erfectosi9k,k2N, tal quen=k3.
Ejemplo 7
.L os n _ umer os25y121son cuadr ados p erfe ctos pues se cumple que25 = 52y121 = 112, adem_ as, los n _ umer os27y125son cub os p erfe ctos ya que27 = 33y125 = 53.
Sis(n) se de_ne como la suma de to dos los divisores p ositiv os y propios den. Se
dice que los n _ umeros naturalesmyn, sonamigossis(n) =m; s(m) =nEs decir, la suma de los divisores propios de cada uno es el otro n _ umero.
Ejemplo 8
.L os n _ umer os220y284son amigos puess() = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284y adem_ as, se tiene ques(Ä) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220._Algunos pares de n _ umeros amigos se pueden v er en el cuadro 2. Las parejas 17296, 18416
y 9363584, 9437056 fueron descubiertos en el siglo IX d.C. p or el matem_ atico _ arab e T abit
ibn Qurra (_-901), que encon tr_ o la f_ orm ula: sin >1 yp,qyrson primos de la formap= 3_2n_1_1,q= 3_2n_1 yr= 9_22n_1_1, en tonces 2npqy 2nrson amigos.
El n _ umero en tero p ositiv onse llamap oligonalsi es p osible representarlo p or medio
de pun tos colo cados en forma p oligonal, de manera que se construy an p ol _ _gonos
enca jados con igual n _ umero de pun tos en cada lado del p ol _ _gono. Dep endiendo
del p ol _ _gono inicial, se hablar_ a de n _ umeros triangulares, cuadr_ aticos, p en tagonales,
hexagonales y as _ _ sucesiv amen te.

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9 La raz_ on de esta nomenclatura geom _ etrica, se aclara cuando los n _ umeros se represen tan p or
medio de pun tos colo cados en forma de tri_ angulos, cuadrados, p en t_ agonos, etc., tal como se
ilustra en la _gura 0.1 para triangulares, en la _gura 0.2 para cuadr_ aticos y en la _gura 0.3
para p en tagonales.
_. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ._ _
_. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Figura 0.1: N _ umeros triangulares 1, 3, 6, 10, 15,. . .
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Figura 0.2: N _ umeros cuadr_ aticos 1, 4, 9, 16, 25,. . .
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Figura 0.3: N _ umeros p en tagonales 1, 5, 12, 22, 35,. . .
Se dice que un n _ umero naturalnessensato, si existe alguna base en terab, con
1< b < n_1, tal que la represen taci_ on en esta base tiene to dos sus d _ _gitos iguales.
Ejemplo 9
.El n _ umer o62es sensato pues62 = (’)5._
Se dice que un n _ umero naturaln, de tres d _ _gitos, estric _ ubicosines igual a las
suma de los cub os de sus d _ _gitos.
Ejemplo 10
.El n _ umer o371es tric _ ubic o pues33+ 73+ 13= 27 + 343 + 1 = 371._
Se dice que un n _ umero naturaln, es un n _ umerocapic _ uasi se lee de igual forma de
derec ha a izquierda o de izquierda a derec ha.
Ejemplo 11
.El n _ umer o1456541es c apic _ ua._Las oraciones o escritos que satisfacen la misma propiedad de los n _ umeros capic _ uas se les
cono ce comopal _ _ndromos, p or ejemplo, las palabras\r e c ono c er"o\sometemos", o las
oraciones\amor a R oma"y\d_ ab ale arr oz a la zorr a el ab ad"son pal _ _ndromos y a que si se
leen de derec ha a izquierda como de izquierda a derec ha, resulta ser la misma oraci_ on.

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Se dice que el n _ umero naturalc, dend _ _gitos, esc _ _clicosi al m ultiplicarcp or un
m _ ultiplo menor o igual quen, el pro ducto tiene los mismos d _ _gitos siguiendo un
orden c _ _clico.
Ejemplo 12
.El n _ umer oc= 142857es c _ _clic o, pues se veri_c a que2c= 285714,3c=
428571,4c= 571428, de la misma maner a se c alcula5c= 714285y6c= 857142._Se sab e que los n _ umeros c _ _clicos son el resultado del p er _ _o do de la expresi_ on decimal1
p,
para alg _ unpprimo, p or ejemplo, de1
7= 0;
142857, se obtiene el n _ umero c _ _clico del ejemplo
an terior. Otros c _ _clicos son generados p or1
17, v _ ease [6], y otro generado p or1
17389.
Se dice que el n _ umero naturaln, esbuenosinse puede escribir como una suma de
n _ umeros naturales, distin tos o no, de manera que la suma de sus in v ersos es 1. Sinno es bueno, se llamar_ a n _ umeromalo.
Ejemplo 13
.Se tiene que11es bueno, pues11 = 2 + 3 + 6y adem_ as1
2+1
3+1
6= 1._
Los n _ umeros de la forma 22n+ 1 se les cono ce como losn _ umeros de F ermat.
F ermat cre _ _a que paran= 0;1;2;3; : : :, la f_ orm ulaFn= 22n+ 1, dar _ _a siempre un
primo, los cinco primeros sonF0= 3,F1= 5,F2= 17,F3= 257,F4= 65537, y to dos
ellos son primos. Sin em bargo, en 1732, Euler hall_ o queF5es compuesto demostrando queF5= 225+ 1 = 4 294 967 297 = 641_6700417. M_ as all_ a deF5, no se han hallado otros primos
de F ermat.
Un primopse llamaprimo de Germainsi 2p+ 1 es primo.
Ejemplo 14
.Es clar o que2es primo de Germain pues5es primo;3tambi _ en lo es pues7es primo, p er o13no es primo de Germain pues27no es primo. El mayor primo de Germain
c ono cido hasta ahor a esp= 2687145_3003_105072_1enc ontr ado en o ctubr e de1995p or Dubner._
La sucesi_ on 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,: : :, que de_ne el t _ erminon- _ esimo como la suma de los
dos t _ erminos an teriores, es decir, se cumple queFn=Fn_1+Fn_2con condiciones
inicialesF1=F2= 1, se cono ce como lasuc esi_ on de Fib onac ciy los n _ umeros que
conforman esta sucesi_ on se cono cen comon _ umeros de Fib onacci. V _ ease [6].
P arapprimo, los n _ umeros de la formaMp= 2p_1 se cono ce como losn _ umeros
de Mersenne, en caso queMpsea primo se le llamaprimo de Mersenne. P ara
ma y ores detalles puede consultar [13].
Ejemplo 15
.L os primer os cinc o primos de Mersenne sonMpp ar a2,3,5,7,13._

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Bibliograf _ _a
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